KOORDINAT DAN PERSAMAAN KUTUB

PERSAMAAN KUTUB

Contoh persamaan kutub adalah:

r = 8 sinθ 

dan 

r = 2 / ( 1 - cosθ )

Seperti halnya dengan system koordinat siku-siku, kita juga dapat menggambarkan grafik sebuah persamaan kutub. Grafik persamaan kutub adalah himpunan titik-titik yang mempunyai paling sedikit sepasang koordinat kutub yang memenuhi persamaan yang bersangkutan. Salah satu cara untuk menggambar grafik itu adalah dengan menyusun daftar nilai-nilai koordinat, kemudian menggambar titik dengan koordinat-koordinat yang bersangkutan dan akhirnya menghubungkan titik itu dengan sebuah kurva yang mulus.

Contoh 7.1. :
Gambar grafik persamaan kutub r = 8 sin θ
Penyelesaian : Kita ganti kelipatan π/6 untuk θ dan menghitung nilai r yang bersangkutan. Apabila θ naik dari 0 hingga 2π, grafik dilintasi dua kali

Contoh 7.2 

Gambarlah grafik dari 

r = 2 / (1 - cosθ)

Penyelesaian : 

Lihat Gambar dibawah ini Perhatikan gejala yang tidak akan terjadi dengan system koordinat siku-siku. Koordinat (-2, 3π/2) tidak memenuhi persamaan. Walaupun demikian titik P (-2, 3π/2) terletak pada grafik, sebab (2, π/2) merupakan koordinat P dan memang memenuhi persamaan tersebut. Kita dapat menarik kesimpulan bahwa dalam system koordinat kutub, walaupun ada sepasang koordinat tertentu yang tidak memenuhi suatu persamaan, tetapi ini tidak perlu mengakibatkan bahwa titik yang bersangkutan tidak terletak pada grafik persamaan itu. Kenyataan ini mengakibatkan banyak kesulitan; kita harus belajar terbiasa dengan kenyataan tersebut.

Persamaan Kutub untuk Garis, Lingkaran dan Konik

Jika sebuah garis melalui kutub, persamaannya adalah θ = θ₀. Apabila garis tidak melalui kutub, maka garistersebut berjarak misalnya d dari kutub (d>0). Andaikan θ₀ sudut antara sumbu kutub dan garis tegak lurus dari kutub pada garis itu (Gambar 7.9). Apabila P (r, θ) sebuah titik pada garis, maka cos (θ - θ₀) = d/r, atau 

Garis : r = d / ( cosθ - θ₀ ) 

Apabila sebuah lingkaran dengan jari-jari a berpusat di kutub, pesamaannya adalah r = a. Apabila pusatnya di (r₀ , θ₀), persamaannya agak rumit, kecuali kalau kita pilih r₀ = a (Gambar 7.10). Maka menurut hukum kosinus, a² = r² + a² – 2ra cos (θ - θ₀)

yang dapat disederhanakan menjadi : 

Lingkaran : r = 2a cos (θ - θ₀)

Gambar 7.9 (kiri) dan Gambar 7.10 (kanan)

Suatu hal yang menarik jika θ₀ = 0 dan θ₀ = π/2. Yang pertama menghasilkan persamaan r = 2a cos θ ; yang kedua menghasilkan r = 2a cos (θ – π/2) atau r = 2a sin θ. Persamaan terakhir hendaknya dibandingkan dengan Contoh 1. 

Akhirnya kalau sebuah konik (elips, parabol atau hiperbol) diletakkan sedemikian hingga fokusnya berada di kutub, garis arahnya berjarak d satuan dari kutub (Gambar 7.11), maka dengan menggunakan definisi konik, yaitu |PL| =  e |PF| kita akan memperoleh

r = e [d - r cos (θ - θ₀) ]

atau secara setara : Konik : r = ed / ( 1 + e cos (θ - θ₀) )

Gambar 7.11

Ada lagi kasus yang menarik, yaitu untuk θ₀ = 0 dan θ₀ = π/2. Perhatikan bahwa apabila e = 1 dan θ₀ = 0 kita memperoleh persamaan dalam Contoh 7.2. Hasil di atas kita ikhtisarkan dalam diagram berikut: 

Grafik Persamaan Kutub  

Grafik persamaan kutub yang telah dibahas sebelumnya terdiri atas garis, lingkaran dan konik. Sekarang kita akan membahas grafik-grafik yang lebih rumit bentuknya, yaitu kardioid, limason, mawar dan spiral. Walaupun bentuk grafiknya rumit, namun persamaannya tetap sederhana kalu digunakan persamaan kutub. Dituangkan dengan koordinat siku-siku, persamaannya tidak lagi sederhana. Jadi kita dapat melihat keuntungan adanya system koordinat ini. Ada kurva-kurva yang persamaannya sederhana dalam suatu system dan ada kurva yang persamaannya sederhana dalam system lain. Sifat demikian akan kita gunakan kelak untuk memecahkan suatu persoalan dengan memilih suatu system koordinat yang tepat.

Sifat simetri dapat membantu kita menggambar sebuah grafik. Di bawah ini ada beberapa pengujian kesimetrian yang cukup dalam koordinat kutub. Kebenarannya dapat dilihat pada gambar yang bersangkutan. 

1. Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu x (yaitu sumbu kutub dan perpanjangannya ke kiri) apabila θ diganti dengan –θ menghasilkan persamaan yang sama (Gambar 7.13). 

2. Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu y (yaitu garis θ = π/2) apabila θ diganti dengan π-θ menghasilkan persamaan yang sama (Gambar 7.14). 

3. Grafik persamaan kutub simetri terhadap titik asal, apabila r diganti –r menghasilkan persamaan yang sama (Gambar 7.15). 

Karena penggambaran banyak titik di dalam koordinat kutub, maka kemungkinan adanya simetri tidak teridentifikasi oleh ketiga tes ini.

Gambar 7.14 ( kiri ) , Gambar 7.15 ( tengah ) , Gambar 7.15 ( kanan )