KOORDINAT DAN PERSAMAAN KUTUB

PERSAMAAN KUTUB

Contoh persamaan kutub adalah:

r = 8 sinθ 

dan 

r = 2 / ( 1 - cosθ )

Seperti halnya dengan system koordinat siku-siku, kita juga dapat menggambarkan grafik sebuah persamaan kutub. Grafik persamaan kutub adalah himpunan titik-titik yang mempunyai paling sedikit sepasang koordinat kutub yang memenuhi persamaan yang bersangkutan. Salah satu cara untuk menggambar grafik itu adalah dengan menyusun daftar nilai-nilai koordinat, kemudian menggambar titik dengan koordinat-koordinat yang bersangkutan dan akhirnya menghubungkan titik itu dengan sebuah kurva yang mulus.

Contoh 7.1. :
Gambar grafik persamaan kutub r = 8 sin θ
Penyelesaian : Kita ganti kelipatan π/6 untuk θ dan menghitung nilai r yang bersangkutan. Apabila θ naik dari 0 hingga 2π, grafik dilintasi dua kali

Contoh 7.2 

Gambarlah grafik dari 

r = 2 / (1 - cosθ)

Penyelesaian : 

Lihat Gambar dibawah ini Perhatikan gejala yang tidak akan terjadi dengan system koordinat siku-siku. Koordinat (-2, 3π/2) tidak memenuhi persamaan. Walaupun demikian titik P (-2, 3π/2) terletak pada grafik, sebab (2, π/2) merupakan koordinat P dan memang memenuhi persamaan tersebut. Kita dapat menarik kesimpulan bahwa dalam system koordinat kutub, walaupun ada sepasang koordinat tertentu yang tidak memenuhi suatu persamaan, tetapi ini tidak perlu mengakibatkan bahwa titik yang bersangkutan tidak terletak pada grafik persamaan itu. Kenyataan ini mengakibatkan banyak kesulitan; kita harus belajar terbiasa dengan kenyataan tersebut.

Persamaan Kutub untuk Garis, Lingkaran dan Konik

Jika sebuah garis melalui kutub, persamaannya adalah θ = θ₀. Apabila garis tidak melalui kutub, maka garistersebut berjarak misalnya d dari kutub (d>0). Andaikan θ₀ sudut antara sumbu kutub dan garis tegak lurus dari kutub pada garis itu (Gambar 7.9). Apabila P (r, θ) sebuah titik pada garis, maka cos (θ - θ₀) = d/r, atau 

Garis : r = d / ( cosθ - θ₀ ) 

Apabila sebuah lingkaran dengan jari-jari a berpusat di kutub, pesamaannya adalah r = a. Apabila pusatnya di (r₀ , θ₀), persamaannya agak rumit, kecuali kalau kita pilih r₀ = a (Gambar 7.10). Maka menurut hukum kosinus, a² = r² + a² – 2ra cos (θ - θ₀)

yang dapat disederhanakan menjadi : 

Lingkaran : r = 2a cos (θ - θ₀)

Gambar 7.9 (kiri) dan Gambar 7.10 (kanan)

Suatu hal yang menarik jika θ₀ = 0 dan θ₀ = π/2. Yang pertama menghasilkan persamaan r = 2a cos θ ; yang kedua menghasilkan r = 2a cos (θ – π/2) atau r = 2a sin θ. Persamaan terakhir hendaknya dibandingkan dengan Contoh 1. 

Akhirnya kalau sebuah konik (elips, parabol atau hiperbol) diletakkan sedemikian hingga fokusnya berada di kutub, garis arahnya berjarak d satuan dari kutub (Gambar 7.11), maka dengan menggunakan definisi konik, yaitu |PL| =  e |PF| kita akan memperoleh

r = e [d - r cos (θ - θ₀) ]

atau secara setara : Konik : r = ed / ( 1 + e cos (θ - θ₀) )

Gambar 7.11

Ada lagi kasus yang menarik, yaitu untuk θ₀ = 0 dan θ₀ = π/2. Perhatikan bahwa apabila e = 1 dan θ₀ = 0 kita memperoleh persamaan dalam Contoh 7.2. Hasil di atas kita ikhtisarkan dalam diagram berikut: 

Grafik Persamaan Kutub  

Grafik persamaan kutub yang telah dibahas sebelumnya terdiri atas garis, lingkaran dan konik. Sekarang kita akan membahas grafik-grafik yang lebih rumit bentuknya, yaitu kardioid, limason, mawar dan spiral. Walaupun bentuk grafiknya rumit, namun persamaannya tetap sederhana kalu digunakan persamaan kutub. Dituangkan dengan koordinat siku-siku, persamaannya tidak lagi sederhana. Jadi kita dapat melihat keuntungan adanya system koordinat ini. Ada kurva-kurva yang persamaannya sederhana dalam suatu system dan ada kurva yang persamaannya sederhana dalam system lain. Sifat demikian akan kita gunakan kelak untuk memecahkan suatu persoalan dengan memilih suatu system koordinat yang tepat.

Sifat simetri dapat membantu kita menggambar sebuah grafik. Di bawah ini ada beberapa pengujian kesimetrian yang cukup dalam koordinat kutub. Kebenarannya dapat dilihat pada gambar yang bersangkutan. 

1. Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu x (yaitu sumbu kutub dan perpanjangannya ke kiri) apabila θ diganti dengan –θ menghasilkan persamaan yang sama (Gambar 7.13). 

2. Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu y (yaitu garis θ = π/2) apabila θ diganti dengan π-θ menghasilkan persamaan yang sama (Gambar 7.14). 

3. Grafik persamaan kutub simetri terhadap titik asal, apabila r diganti –r menghasilkan persamaan yang sama (Gambar 7.15). 

Karena penggambaran banyak titik di dalam koordinat kutub, maka kemungkinan adanya simetri tidak teridentifikasi oleh ketiga tes ini.

Gambar 7.14 ( kiri ) , Gambar 7.15 ( tengah ) , Gambar 7.15 ( kanan ) 

KOORDINAT DAN PERSAMAAN KUTUB

KOORDINAT KUTUB

Sistem Koordinat Kutub

Dua orang Perancis yaitu Pierre Fermat dan Rene Descartes, telah memperkenalkan system koordinat yang sekarang kita kenal dengan sebutan system koordinat Cartesius atau siku-siku. Dasar pemikiran mereka ialah untuk menunjukkan kedudukan titik P pada bidang dengan dua bilangan yang ditulis dengan lambang (x,y) setiap bilangan menggambarkan jarak berarah dari dua sumbu yang tegak lurus sesamanya (Gambar 7.1). Sistem koordinat ini adalah dasar dari geometri analitik, dan sangat membantu pengembangan kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang kita capai hingga saat ini.

Dengan memberikan jarak berarah dari dua sumbu yang tegak lurus bukanlah satusatumya jalan untuk menunjukkan kedudukan suatu titik pada bidang. Cara lain adalah menggunakan apa yang disebut koordinat kutub.

gambar 7.1                                                                                     gambar 7.2

Koordinat Kutub

              Kita mulai dengan menggambar sebuah setengah-garis tetap yang dinamakan sumbu kutub yang berpangkal pada sebuah titik 0. Titik ini disebut kutub atau titik asal. Biasanya sumbu kutub ini kita gambar mendatar dan mengarah ke kanan dan oleh sebab itu sumbu ini dapat disamakan dengan sumbu x positif pada sebuah system koordinat siku-siku. Setiap titik P (selain dari kutub) adalah perpotongan antara sebuah lingkaran tunggal yang berpusat di 0 dan sebuah sinar tunggal yang memancar dari 0. Jika r adalah jari-jari lingkaran dan θ adalah salah satu sudut antara sinar dan sumbu kutub, maka (r, θ) dinamakan sepasang koordinat kutub dari titik P (Gambar 7.2).  

       Titik-titik yang dilukiskan oleh koordinat kutub paling mudah digambar apabila kita menggunakan kertas grafik kutub. Pada kertas demikian telah tergambar lingkaranlingkaran yang sepusat dan sinar-sinar yang memancar dari pusat itu. Kita dapat melihatnya pada Gambar 4.3, pada gambar ini telah terlukis beberapa titik.

Gambar 7.3 (kiri) dan Gambar 7.4 (kanan)

Perhatikan sebuah sifat berikut yang tidak ada pada sebuah system koordinat Cartesius. Tiap titik memiliki banyak koordinat kutub. Ini adalah akibat sifat bahwa sudut-sudut θ + 2πn, n = 0, ±1, ±2,…memiliki kaki-kaki yang sama. Misalnya, titik dengan koordinat kutub (4, π/2) juga memiliki koordinat (4, 5π/2), (4, 9π/2), (-4,3π/2), dan seterusnya. Bahkan hal ini berlaku juga jika r diperbolehkan memiliki nilai yang negatif. Dalam hal ini (r, θ) terletak pada sinar yang berlawanan arah dengan  sinar yang dibentuk oleh θ dan yang terletak r satuan dari titik asal. Dengan demikian, titik dengan koordinat kutub (-3, π/6) dapat kita lihat pada Gambar 4.4,  sedangkan (-4, 3π/2) adalah koordinat lain untuk (4, π/2). Titik asal mempunyai koordinat (0, θ), di mana θ sudut sembarang.

Hubungan dengan Koordinat Cartesius

Andaikan sumbu kutub berimpit dengan sumbu x positif system koordinat Cartesius. Maka koordinat kutub (r, θ) sebuah titik P dan koordinat Cartesius (x, y) titik itu dihubungkan oleh persamaan :

x = r cos θ

r² = x² + y²

 y = r sin θ

tan θ = x/y

Hubungan tersebut jelas berlaku untuk sebuah titik P yang berada di dalam kuadran pertama, yang dapat kita lihat pada Gambar 4.7. mudah dibuktikan untuk titik-titik dalam kuadran lain.

Gambar 7.7 (kiri) dan Gambar 7.8 (kanan)

Contoh 7.3 

Tentukan koordinat Cartesius dari titik yang koordinat kutubnya adalah (4, π/6). Tentukan juga koordinat kutub titik yang koordinat Cartesiusnya adalah (-3, 3 ). 

Penyelesaian : 

Jika (r, θ) = (4, π/6), maka 

x = 4 cos π/6 = 4 . √3 / 2= 2 √3 

y = 4 sin π/6 = 4 . ½ = 2 

Jika, (x, y) = (-3, 3 ) , maka 

r² = (-3)2 + ( √3 )2 = 12 

tan θ = √3 / -3 

Salah satu nilai (r, θ) adalah (2√3 , 5π/6). Nilai lainnya adalah (-2√3 , -π/6). 

Ada kalanya grafik persamaan kutub dapat kita lukis dengan mencari persamaannya dalam system Cartesius. Sebagai contoh kita sajikan kasus di bawah ini.

Contoh 7.4 

Buktikan bahwa grafik persamaan r = 8 sin θ (Contoh 1) adalah sebuah lingkaran dan bahwa grafik persamaan r = 2 / (1- cos θ) (Contoh 2) adalah sebuah parabol dengan jalan menulis persamaan Cartesius kurva tersebut. 

Penyelesaian : 

Kalikan ruas kiri dan kanan persamaan r = 8 sin θ dengan r, kita peroleh 

r² = 8r sin θ

dalam bentuk Cartesius persamaan tersebut, menjadi : 

x² + y² = 8y

dan persamaan ini dapat diubah sebagai berikut : 

x² + y² - 8y = 0

x² + y² - 8y  + 16 = 16

x² + (y - 4)² = 16

Persamaan terakhir ini adalah persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 4) dan berjari-jari 4. 

PERHATIKAN 

Karena r bisa bernilai 0, ada kesalahan yang mungkin terjadi dalam mengalikan kedua sisi pada suatu persamaan kutub dengan r atau dalam membagi kedua bagian tersebut dengan r. Pada kasus yang pertama, kita dapat menambahkan kutub pada grafik; pada kasus kedua, kita dapat menghilangkan kutub dari grafik. Dalam Contoh di atas, kita kalikan kedua sisi dari r = 8 sin θ dengan r tanpa menimbulkan kesalahan karena kutubnya telah terdapat pada grafik sebagaimana titik dengan koordinat-θ 0. 

Persamaan kedua kita ubah berturut-turut sebagai berikut : 

r = 2 / (1 - cosθ) 

r – r cos θ = 2 

r - x = 2 

r = x + 2

r² = x² + 4x + 4

x² + y² = x² + 4x + 4

y² = 4(x + 1)

Kita lihat bahwa persamaan terakhir ini adalah persamaan parabol dengan puncak di (-1, 0) dan dengan fokus di (0, 0).

Setelah ini kita akan membahas bagimana persamaan kutub. soo ditunggu ya :) karna aku postingnya subuh. yukkk sholat dulu :)