OPERASI – OPERASI PADA VEKTOR

PENDEKATAN SECARA GEOMETRI

OPERASI – OPERASI PADA VEKTOR

     

Untuk menentukan jumlah (sum), atau resultan, dari vektor – vektor u dan v, gerakkan v tanpa mengubah besaran atau arahnya sampai ekor v tersebut berimpit dengan kepala u. Maka u + v adalah suatu vektor yang menghubungkan ekor u ke kepala v. 

Cara lain untuk menentukan jumlah vektor u + v, yaitu dengan menggerakkan v sedemikian rupa sehingga ekornya berimpit dengan u. Maka u + v adalah suatu vektor dengan ekor yang sama dan berimpit dengan garis diagonal suatu jajaran genjang yang mempunyai u dan v sebagai sisi – sisinya.

Operasi dalam vektor tersebut dapat dijelaskan pada gambar dibawah ini :

Kedua metode ini merupakan cara yang ekuivalen untuk menentukan penjumlahan dari vektor, dan pada penjumlahan vektor berlaku pula sifat komukatif dan asosiatif. Yaitu :

u + v = v + u

(u + v) + w = u + (v + w)

Bila u adalah sebuah vektor, maka 3u adalah vektor yang memiliki arah yang sama dengan u tetapi memiliki panjang 3 kali dari vektor u; -3u berarti vektor tersebut memiliki arah berlawanan dengan 3u, tetapi memiliki panjang yang sama. Dan untuk vektor yang tidak mempunyai arah disebut vektor nol dan dinotasikan 0. vektor 0 merupakan unsur identitas penjumlahan, dalam hal ini

u + 0 = 0 + u = u 

dan untuk pengurangan vektor didefinisikan;

u – v = u + (-v)

PENDEKATAN SECARA ALJABAR

OPERASI PADA VEKTOR

Untuk sebarang vektor u, v, dan w, dan sembarang skalar a dan b, berlaku hubungan – hubungan berikut ;

            1. u + v = v + u                             5. a(bu) = (ab)u = u(ab)

            2. (u + v) + w = u +(v +            6. a(u + v) = au + av

            3. u + 0 = 0 + u =                       7. (a + b)u = au + bu

            4. u + (-u) = 0                                8. 1u = u

Bukti aturan 6.

Jika komponen vektor u = <u₁,u₂> dan komponen vektor v = <v₁,v₂> maka :

a(u + v) = a(<u₁,u₂> + <v₁,v₂>)

                            = a. <u₁ + v₁ , u₂ + v₂>

                            = <a(u₁ + v₁), a(u₂ + v₂)>

                            = <au₁ + av₁, au₂ + av₂>

                            = <au₁,au₂> + <av₁,av₂>

                            = a<u₁,u₂> + a<v₁,v₂>

                            = au + av

Penjelasan Operasi pada Vektor

Jika, komponen vektor u = <u₁,u₂> dan komponen vektor v = <v₁,v₂> maka :

Untuk menjumlahkan u dan v, kita menjumlahkan komponennya yang bersesuaian ;

            u + v                =          <u₁+v₁ , u₂+v₂>

            uk                    =          <u₁k , u₂k>   [k adalah sebuah skalar]

Gambar dibawah ini menunjukkan penjumlahan vektor dan perkalian skalar vektor tersebut

PERSAMAAN PARAMETRIK DAN VEKTOR PADA BIDANG

VEKTOR PADA BIDANG

Bentuk Komponen Suatu Vektor

Banyak kuantitas dalam geometri dan fisika, seperti luas, volume, suhu, massa, dan waktu, dapat dikarakteristikkan sebagai suatu bilangan real tunggal yang diskalakan terhadap satuan ukuran yang tepat. Kuantitas-kuantitas tersebut dinamakan kuantitas skalar, dan bilangan real yang berasosiasi dengan kuantitas tersebut dinamakan skalar.

Kuantitas-kuantitas lain, seperti gaya, kecepatan, dan percepatan, melibatkan nilai dan arah dan tidak dapat dikarakteristikkan hanya dengan suatu bilangan real tunggal. Ruas garis berarah digunakan untuk merepresentasikan kuantitas semacam itu, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1. Ruas garis berarah PQ memiliki titik pangkal P dan titik ujung Q, dan panjangnya (atau besarnya) dinotasikan sebagai ||PQ||. Ruas-ruas garis berarah yang memiliki panjang dan arah sama dikatakan ekuivalen, seperti yang ditunjukkan Gambar 2. Himpunan semua ruas garis berarah yang ekuivalen dengan ruas garis yang diberikan, PQ, merupakan suatu vektor pada bidang dan dinotasikan sebagai

Dalam pengetikan, vektor biasanya ditulis dalam huruf kecil dan tebal seperti u, v, dan w. Ketika ditulis tangan, vektor biasanya ditulis sebagai huruf kecil dengan tanda panah di atasnya.

Pastikan kita memahami bahwa suatu vektor merepresentasikan himpunan ruas-ruas garis berarah (masing-masing memiliki panjang dan arah yang sama). Akan tetapi dalam prakteknya, biasanya tidak dibedakan antara suatu vektor dan satu ruas garis berarah representasinya.

Contoh 1: Representasi Vektor: Ruas-ruas Garis Berarah

Misal v merepresentasikan ruas garis berarah dari (0, 0) ke (3, 2), dan misalkan u merepresentasikan ruas garis berarah dari (1, 2) ke (4, 4). Tunjukkan bahwa u dan v ekuivalen.

Pembahasan Misalkan P(0, 0) dan Q(3, 2) menjadi titik pangkal dan titik ujung v, dan misalkan R(1, 2) dan S(4, 4) menjadi titik pangkal dan titik ujung u, seperti yang ditunjukkan Gambar 3. Kita dapat menggunakan Rumus Jarak untuk menentukan panjang PQ dan RS memiliki panjang yang sama.

Kedua segmen tersebut memiliki arah yang sama, karena kedua garis tersebut mengarah ke kanan atas pada garis-garis yang memiliki gradien sama.

dan

Karena ruas garis berarah PQ dan RS memiliki panjang dan arah sama, kita dapat menyimpulkan bahwa kedua vektor tersebut ekuivalen. Yaitu, v dan u ekuivalen.

untuk sifat - sifat pada vektor nanti di upload yaa..... ditunggu oke :)

PERSAMAAN PARAMETRIK DAN VEKTOR PADA BIDANG

PERSAMAAN PARAMETRIK

Kita lanjutkan bahasan kita mengenai Fungsi Paramatrik. Fungsi parametrik adalah fungsi yang dipengaruhi oleh paramater tertentu. misalnya ” t” . Jadi bukan lagi y=f(x) akan tetapi x=f(t) dan y=g(t). Perlunya menggunakan fungsi parametrik adalah karena suatu kurva berubah posisi koordinatnya (x,y) lebih karena dipengaruhi oleh faktor “t”. Sehingga kadang kurva terlihat begitu rumit, model kurva ini dibagi menjadi 4 kelompok.

Berikut ini contoh sebuah fungsi parametrik dan bagaimana membuat gambarnya

Untuk membuat gambarnya, lebih mudah untuk membuat tabel 3 kolom seperti dibawah ini kemudian baru digambar. Buatlah titik-titik koordinat (x,y) hasil dari memasukkan nilai “t” ke dalam persamaan f(t) dan g(t), kemudian dilanjutkan dengan membentuk kurva yang mulus

Terlihat dari gambar di atas, adalah sebuah kurva parabola. Dan kita bisa mengetahui persamaan parametrik di atas merupakan persamaan parabola atau bukan, dengan mengeliminasi paramater “t”. Caranya sebagai berikut

Contoh lain cara menghilangkan parameter dalam persamaan parametrik

Juga contoh berikut

Aplikasi Turunan dan Integral pada Persamaan Parametrik

Seperti halnya persamaan dalam bentuk y=f(x), maka persamaan parametrik juga bisa diturunkan dan juga diintegralkan. Akan tetapi harus mengikuti beberapa cara berikut

Penurunan Funsi Parametrik

Untuk lebih jelasnya, mari kita perhatikan contoh berikut