GARIS SEBAGAI KURVA BERDERAJAT SATU

Persamaan Normal Sebuah Garis 

 Sebuah garis yang memotong sumbu x dan sumbu y akan tegak lurus terhadap sebuah ruas garis yang melalui titik asal (0, 0). Perhatikan gambar 25.

Garis normal suatu garis yang memotong sumbu x dan sumbu y

 Gambar tersebut memperlihatkan sebuah garis l yang memotong sumbu x di A(a, 0) dan tegak lurus terhadap ruas garis 𝑅𝑂 di mana O(0, 0) dan R titik pada garis l. Besar sudut ⁡𝛃 menyatakan ukuran sudut inklinasi garis RO. Garis RO disebut garis normal dari garis 𝓵. Sedangkan nilai p menunjukkan panjang ruas garis 𝑅𝑂. Maka dapat dibuat sebuah segitiga siku-siku ARO di mana ∡ 𝐴𝑅𝑂 = 90°
Sehingga sudut inklinasi garis l yaitu 𝛼 = ∡𝑋𝐴𝑅 = 180° − ∡𝑅𝐴𝑂 = 90° + 𝛽 Kemiringan garis l ditentukan oleh m = tan 𝛂 = tan (90 + 𝛃) =  − 1/tan𝛽 = − cos𝛽/sin𝛽
Karena segitiga ARO adalah segitiga siku-siku dengan hipotenusa 𝑂𝐴 maka cos𝛽 = 𝑝 / |𝑂𝐴 sehingga
|𝑂𝐴| = 𝑝/cos𝛽 = √𝑎2 = 𝑎. Jadi koordinat titik A di ( 𝑝/cos𝛽,0).

Dengan demikian garis l memiliki gradien 𝑚 = −cos𝛽/sin𝛽 dan melalui titik A( 𝑝/cos𝛽 ,0) sehingga  substitusi ke dalam persamaan garis y - y0 = m(x - x0) menghasilkan persamaan normal :

𝑦 − 0 = −cos𝛽/sin𝛽(𝑥 − (𝑝/cos𝛽)) ⇒ 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝜷 + 𝒚 𝐬𝐢𝐧𝜷 − 𝒑 = 𝟎  

Jika persamaan garis dinyatakan sebagai persamaan kurva berderajat satu Ax + By + C = 0 maka

𝑚 = −𝐴/𝐵 = − cos𝛽/sin𝛽 ⇒ 𝐴 𝐵 =  cos𝛽/sin𝛽 ⇒ sin𝛽 = 𝐵/𝐴 (cos𝛽)

Dengan menggunakan identitas trigonometri cos2b + sin2b = 1 dilakukan manipulasi aljabar sebagai berikut.

 cos2b + sin2b = 1  ⟹ 𝑐𝑜s2𝛽 + B2 A2 / 𝑐𝑜s2𝛽 = 1 ⟹ 𝑐𝑜s2𝛽 ( (A2 +B2  /A2 ) = 1 ⟹𝐜𝐨𝐬𝜷 = 𝑨 ±√𝑨𝟐+𝑩𝟐 

Koordinat titik potong garis dan sumbu x yaitu 𝑥 = − 𝐶 𝐴 = 𝑝 cos𝛽  𝑝 = − 𝐶 𝐴
cos𝛽 dan diperoleh  𝑝 = 𝑪 ±√𝑨𝟐 +𝑩𝟐

Contoh 3  

Persamaan kurva berderajat satu x + 2y - 5 = 0 pada contoh 5 dapat diubah menjadi persamaan normal dengan langkah sebagai berikut.

1) Menentukan sudut normal 𝛽
        Gradien garis yaitu 𝑚 = − 1/2 maka sudut inklinasi 𝛂 = arc tan m = arc tan (− 1/2 ) ≈ 153,43  . Hubungan sudut inklinasi 𝛂 dan 𝛃 : 𝛼 = 90° + 𝛽. Telah diketahui sudut inklinasi 𝛂 ≈ 153,43 maka sudut 𝛃 ≈ 63,43

2) Menentukan jarak titik (0, 0) ke garis yaitu p
         Titik potong garis dan sumbu x ditentukan dengan mensubtitusikan y = 0 sehingga diperoleh titik potong (5, 0) maka 𝑝 cos 𝛽 = 5 ⟹ p = 5 cos 𝛽 = 5 cos 63,43 ≈ 5 - 0,447 ≈  2, 24

Maka persamaan normal garis x + 2y - 5 = 0 yaitu : x cos 63,43 + y sin 63,43 - 2,24 = 0

Persamaan normal tersebut dapat diubah kembali menjadi persamaan garis sebagai kurva berderajat atau pun persamaan garis bergradien sebagai berikut :

x cos 63,43 + y sin 63,43 - 2,24 = 0 ⟹ 0,45x + 0,89 y - 2, 24 = 0 ⟹ x + 2y – 5 = 0

GARIS SEBAGAI KURVA BERDERAJAT SATU

GARIS SEBAGAI KURVA BERDERAJAT SATU 

Persamaan Umum Garis, Gradien dan Sudut Inklinasi 

            Garis dibentuk oleh paling sedikit dua buah titik berbeda. Sebagai suatu himpunan, garis merupakan himpunan titik-titik yang tak hingga dan tak berbatas sehingga garis tidak memiliki dimensi panjang. Jika garis dibentuk oleh titik A dan B maka garis tersebut dapat dinamakan sebagai garis AB. Notasi lain untuk penamaan garis yaitu menggunakan huruf kecil misalnya g, h, l, m dan sebagainya. Sebuah garis juga disebut kurva berderajat satu yang dinyatakan sebagai :   

Ax + By + C = 0 untuk A, B, C bilangan riil dan x, y variabel bilangan riil 

Sebuah garis dapat ditentukan persamaan kurva berderajat satu seperti di atas apabila diketahui tiga buah titik yang dilalui oleh garis tersebut. 

Contoh 1

Sebuah garis yang melalui titik A(1, 2), B(-3, 4), dan C(5, 0) maka persamaan kurva berderajat  satu untuk garis tersebut ditentukan sebagai berikut. 

Langkah 1) Substitusi koordinat titik ke dalam persamaan kurva 

Garis melalui A(1, 2)  A(1) + B(2) + C = 0 ⇒ A + 2B + C = 0 ----------------------------pers. 1

Garis melalui B(-3, 4)  A(3) + B(-4) + C = 0⇒ -3A + 4B + C = 0 ------------------------pers. 2

Garis melalui C(5, 0)  A(5) + B(0) + C = 0 ⇒ 5A  + C = 0 --------------------------------pers. 3 

Langkah 2) Membuat sistem persamaan linier tiga variabel 

𝐴 + 2𝐵 + 𝐶 = 0

3𝐴 + 4𝐵 + 𝐶 = 0

5𝐴 + 𝐶 = 0

Langkah 3) Menyelesaikan sistem persamaan linier  

Penyelesaian sistem persamaan linier di atas yaitu : 

A = 1, B = 2 dan C = -5 

Maka persamaan kurva berderajat satu untuk garis yang melalui A(1, 2), B(-3, 4), dan C(5, 0) yaitu x + 2y - 5 = 0 . Sketsa garis tersebut pada sistem koordinat Cartesius seperti gambar di atas. 

Garis x + 2y - 5 = 0 seperti ditunjukkan pada gambar di atas membentuk sudut terhadap sumbu x positif. Besarnya sudut yang terbentuk tersebut akan mempengaruhi kemiringan garis. Sudut bernilai positif yang dibentuk antara garis dan sumbu x positif dinamakan sudut inklinasi garis (angle of inclination) dan biasanya dinotasikan  oleh  sudut  a.     Kemiringan  suatu  garis  dinamakan gradien (slope of the line) dan dinyatakan oleh notasi m.

Gambar 1. Sudut Inklinasi Garis

Gambar 2. Gradien Suatu Garis

Nilai gradien suatu garis dapat bernilai positif, negatif, nol atau tidak terdefinisi. Gradien suatu garis dapat ditentukan dengan menggunakan konsep trigonometri pada segitiga siku-siku namun dengan memperhatikan interval nilai sudut yang dibentuk oleh garis terhadap sumbu x positif. Perhatikan gambar sebuah garis berikut. Garis tersebut melalui dua titik yaitu P1(x1, y1) dan P2(x2, y2). Sudut yang dibentuk garis P1P2 adalah a. Pada gambar terlihat sebuah segitiga siku- siku dengan hipotenusa P1P2, panjang sisi alas x2  - x1  dan panjang sisi tegak  y2   -  y1.  Nilai  tangent  sudut  a dapat ditentukan sebagai perbandingan antara panjang sisi tegak terhadap panjang sisi alas segitiga siku-siku. Sehingga dapat dirumuskan :

𝒎 =  𝐭𝐚𝐧 𝜶 = y₂ – y_{1 /}    x₂ – x₁ ⇒  𝜶 = 𝒂𝒓𝒄 𝐭𝐚𝐧 𝒎 

Jadi nilai gradien suatu garis merupakan nilai tangen sudut inklinasi dan besarnya sudut inklanasi adalah nilai arc tan dari gradien garis.

Bentuk persamaan kurva berderajat satu dapat diubah menjadi fungsi dari x di mana x

adalah variabel bebas dan y adalah variabel terikat sebagai berikut :

𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎 ⇒ 𝑩𝒚 =  −𝑨𝒙 − 𝑪 ⟹ 𝒚 =  -𝑨/𝑩𝒙 − 𝑪/𝑩 ⟹ 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒄

Konstanta m disebut sebagai gradien yang menunjukkan kemiringan garis dan c merupakan konstanta persamaaan. Persamaan y = mx + c disebut persamaan garis bergradien m.

Sifat-sifat Garis dalam Bidang : Kesejajaran dan Perpotongan 

Sifat-sifat garis yang berada dalam sebuah bidang dalam geometri Euclide meliputi garisgaris yang berpotongan atau tidak berpotongan. Dua buah garis dikatakan berpotongan jika ada sebuah titik potong yang dilalui kedua garis. Dua garis tidak berpotongan disebut saling sejajar. Perhatikan bentuk garis-garis pada gambar berikut.

Gambar 4. Garis-garis yang memotong sumbu koordinat Cartesius

Gambar di atas memperlihatkan bahwa garis-garis bergradien positif atau negatif memotong sumbu x dan sumbu y masing-masing di satu titik. Perpotongan garis tersebut dengan sumbu x ditentukan dengan mensubstitusikan nilai y = 0 ke dalam persamaan garis. Perpotongan garis tersebut dengan sumbu y ditentukan dengan cara mensubstitusikan nilai x = 0 ke dalam persamaan garis.  Sedangkan garis sejajar sumbu x hanya memotong sumbu y dan tidak memotong sumbu x. Garis sejajar sumbu y hanya memotong sumbu x dan tidak memotong sumbu y.Tabel berikut meringkas hubungan persamaan garis dan titik-titik potong garis terhadap sumbu x dan sumbu y.