PERSAMAAN BIDANG DATAR

PERSAMAAN UMUM BIDANG DATAR

·         Persamaan Vektoris Bidang Datar

Suatu bidang datar akan tertentu bila diketahui tiga buah titik (yang tidak segaris) yang terletak pada bidang datar tersebut. Misalkan, diketahui tiga titik pada bidang datar V :

Untuk setiap titik sebarang X(x,y,z) pada bidang datar V berlaku :

PX = λPQ + µPR (-∞ < λ< ∞, -∞ <µ<∞)

Sehingga

[x,y,z] = [x₁,y₁,z₁]+λ[x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁]+µ[x₃-x₁,y₃-y₁,z₃-z₁]…......... (1)

(-∞ < λ< ∞, -∞ <µ<∞) adalah persamaan vektoris bidang datar melalui tiga buah titik. Kedua vector PQ dan PR disebut vector-vektor arah bidang (setiap dua vector, yang tidak segaris, pada bidang merupakan vector-vektor arah bidang tersebut). Sehingga persamaan vektoris bidang datar diketahui melalui satu titik P(x₁,y₁,z₁) dan diketahui dunia vector arahnya a = [x_a,y_a,z_a] dan b = [x_b,y_b,z_b] adalah :

[x,y,z] = [x₁,y₁,z₁] + λ[x_a,y_a,z_a] + µ[x_b,y_b,z_b] …………………….. (2)

(-∞ < λ< , -∞ <µ<∞)

Dan persamaan (2) dapat ditulis menjadi tiga persamaan :

x = x₁ + λx_a + µx_b ………………………………………………… (3)

y = y₁ + λy_a + µy_b ………………………………………………… (4)

z = z₁ +  λz_a  +µz_b ………………………………………………… (5)

yang disebut persamaan parameter bidang datar.

·         Persamaan Linier ( Umum ) Bidang Datar

Kalau λ dan µ kita eliminasikan dari persamaan (3) dan (4) di atas diperoleh :

Dimana  …………………………. (6)

dan misalkan = 0, kemudian kalau λ dan µ di atas kita substitusikan ke persamaan (5) diperoleh :

atau

Sebut :

dan 

persamaan (7) menjadi  ………………. (8)

yang merupakan persamaan linier (umum) dari suatu bidang datar.

Yang merupakan persamaan linier (umum) dari suatu bidang datar.

Contoh Soal :

Cari persamaan bidang yang melalui titik – titik P(1, 2, -1), Q(2, 3, 1) dan R(3, -1, 2).

Penyelesaian :

Bentuk umum dari persamaan sebuah bidang datar yaitu

Melalui P(1, 2, -1)     a + 2b – c + d = 0 …………………………… (1)

Melalui Q(2, 3, 1)     2a+3b+c+d = 0 ………………………………. (2)

Melalui R(3, -1, 2)    3a-b+2c+d = 0 ……………………………….. (3)

Eliminasi (1) dan (2) menghasilkan 3a + 5b = -2d

Eliminasi (1) dan (3) menghasilkan 5a + 3b = -3d

Dari 2 eliminasi ini didapatkan,

Nilai a, b, dan c disubstitusikan ke dalam persamaan umum sebuah bidang.

 ax + by + cz +d = 0

PERSAMAAN BIDANG SEJAJAR

Bidang ax + by + cz + d = 0 dan bidang px + qy + rz + s = 0 dikatakan sejajar bila normalnya n₁ (a, b, c ) dan n₂ (p, q, r) adalah vector – vector yang paralel,

n₁ = kn₂

dimana k adalah bilangan real yang tidak nol.

Contoh :

Tentukanlah apakah bidang – bidang x + 2y – 2z = 5 dan 6x -3y + 2z = 8 sejajar.

Jawab :

Bidang – bidang x + 2y – 2z = 5 dan 6x -3y + 2z = 8 memiliki normal n₁ (1, 2, -2) dan n₂ ( 6, -3, 2 ). Kedua normal bidang bukan merupakan vector – vector parallel, tak ada nilai k real dan tak nol yang menyebabkan n₁( 1, 2, -2 ) = n₂ ( 6, -3, 2 ). Jadi kedua bidang tersebut tidak sejajar.

PERSAMAAN BIDANG TEGAK LURUS

Bidang ax + by + cz + d = 0 dan bidang px + qy + rz + s = 0 dikatakan tegak lurus bila normalnya n₁ (a, b, c ) dan n₂ (p, q, r) adalah vector – vector orthogonal, yakni

n₁.n₂ = 0

maka kedua bidang dikatakan tegak lurus.

Contoh 1:

Tentukanlah apakah bidang – bidang  x – y – 3z = 5 dan 2x – y + z = 1 tegak lurus.

Jawab :

Bidang – bidang x – y – 3z = 5 dan 2x – y + z = 1 memiliki normal n₁ = ( 1, -1, -3 ) dan n₂ = ( 2, -1, 1 ). Kedua normal bidang merupakan vector – vector orthogonal, n₁.n₂ = 0, atau (1) (2) + (-1)(-1) + (-3) (1) = 0.

Jadi bidang – bidang x – y – 3z = 5 dan 2x – y + z = 1 saling tegak lurus.

Contoh 2 :

Cari persamaan bidang melalui ( -2, 1, 5 ) yang tegak lurus bidang 4x – 2y + 2z +1 = 0 dan 3x + 3y – 6z = 5

Jawab :

Bidang – bidang 4x – 2y + 2z +1 = 0 dan 3x + 3y – 6z = 5 memiliki normal n₁ (4, -2, 2 ) dan n₂ ( 3, 3, -6 ).

Bidang  yang tegak lurus bidang 4x – 2y + 2z +1 = 0 dan 3x + 3y – 6z = 5 adalah bidang yang vector normalnya, dimisalkan n3 ( a, b, c ) orthogonal dengan vector n₁(4, -2, 2 ) dan n₂ (3, 3, -6 ).

n₃.n₁ = 0 atau 4a – 2b +2c = 0 ……………………………… (1)

n₃.n₂ = 0 atau 3a + 3b – 6c = 0 ………………………………(2)

Dari persamaan (1) dan (2) didapatkan , 

Jadi 

Bila c dipilih sama dengan 3, maka n = ( 1, 5, 3 ) dan persamaan bidangnya menjadi x + 5y + 3z + d = 0

Karena bidang melalui titik ( -2, 1, 5 ) maka :

(1) (-2) + (5) (1) + (3) (5) + d = 0, d = -18

Persamaan bidang yang dicari adalah x + 5y + 3z – 18 = 0

KOORDINAT KARTESIUS dan VEKTOR dalam RUANG DIMENSI TIGA

KOORDINAT KARTESIUS RUANG DIMENSI TIGA

Mungkin sampai saat ini, kita telah memberikan perhatian utama pada sistem koordinat dua dimensi. Akan tetapi dalam mempelajari kalkulus kita akan memerlukan sistem koordinat tiga dimensi.

Sebelum memperluas konsep vektor ke dalam tiga dimensi, kita harus mampu untuk mengidentifikasi titik-titik dalam sistem koordinat tiga dimensi. Kita dapat membangun sistem ini dengan membuat sumbu-z yang memotong tegak lurus sumbu-x dan sumbu-z pada titik asal, seperti yang ditunjukkan Gambar 1. Jika kita memasangkannya, sumbu-sumbu tersebut akan membentuk tiga bidang koordinat: bidang-xy, bidang-xz, dan bidang-yz. Ketiga bidang koordinat ini akan memisahkan ruang menjadi delapan oktan. Oktan pertama berisi titik-titik yang semua koordinatnya positif. Dalam sistem tiga dimensi ini, suatu titik P dalam ruang ditentukan dengan tripel berurutan (x, y, z), dimana x, y, dan z dijelaskan sebagai berikut.

x = jarak langsung dari bidang-yz ke P

y = jarak langsung dari bidang-xz ke P

z = jarak langsung dari bidang-xy ke P

Beberapa titik ditunjukkan dalam Gambar 2 berikut.

Sistem koordinat tiga dimensi dapat berorientasi tangan kanan atau tangan kiri. Untuk menentukan orientasi sistem tersebut, bayangkan kita berdiri pada titik asal, dengan kedua tangan menunjuk ke sumbu-x positif dan sumbu-y positif, dan sumbu-z menunjuk ke atas, seperti yang ditunjukkan Gambar 3. Apakah sistem tersebut berorientasi tangan kanan atau tangan kiri bergantung pada tangan mana yang menunjuk sumbu-x. Pada pembahasan ini, kita akan menggunakan sistem yang berorientasi tangan kanan.

Banyak rumus-rumus yang diperoleh dari koordinat dua dimensi dapat diperluas ke tiga dimensi. Sebagai contoh, untuk menentukan jarak antara dua titik dalam ruang, kita dapat menggunakan Teorema Pythagoras dua kali, seperti yang ditunjukkan Gambar 4. Dengan melakukan ini, kita akan memperoleh rumus jarak antara dua titik (x1, y1, z1) dan (x2, y2, z2).

Menentukan Jarak Antara Dua titik dalam Ruang

Contoh 1: 

Tentukan jarak antara titik-titik (2, –1, 3) dan (1, 0, –2).

Pembahasan

Suatu bola dengan pusat pada (x0, y0, z0) dan jari-jari r didefinisikan sebagai himpunan semua titik (x, y, z) sedemikian sehingga jarak antara (x, y, z) dan (x0, y0, z0) adalah r. Kita dapat menggunakan Rumus Jarak untuk menentukan persamaan baku bola dengan jari-jari r dan pusat pada (x0, y0, z0). Jika (x, y, z) adalah sebarang titik pada bola, maka persamaan bola tersebut adalah

seperti yang ditunjukkan Gambar 5 berikut.

Lebih lanjut, titik tengah ruas garis yang menghubungkan titik-titik (x1, y1, z1) dan (x2, y2, z2) memiliki koordinat

Menentukan Persamaan Bola

Tentukan persamaan baku dari suatu bola yang memiliki titik-titik (5, –2, 3) dan (0, 4, –3) sebagai titik-titik ujung diameternya.

Pembahasan Dengan menggunakan Rumus Titik Tengah, pusat bola tersebut adalah

Dengan menggunakan Rumus Jarak, jari-jari bola adalah

Oleh karena itu, persamaan baku bola tersebut adalah

Vektor dalam Ruang

Dalam ruang, vektor dinotasikan dengan tripel berurutan v = <v1, v2, v3>. Vektor nol dinotasikan dengan 0 = <0, 0, 0>. Dengan menggunakan vektor-vektor satuan

notasi vektor satuan baku untuk v adalah

seperti yang ditunjukkan Gambar 6 berikut.

.

Jika v direpresentasikan dengan ruas garis berarah dari P(p1, p2, p3) ke Q(q1, q2, q3), seperti yang ditunjukkan Gambar 7, maka bentuk komponen v dituliskan dengan mengurangkan koordinat titik ujung dengan koordinat titik pangkal, sebagai berikut.

---

Vektor dalam Ruang

Misalkan u = <u1, u2, u3> dan v = <v1, v2, v3> adalah vektor-vektor dalam ruang dan misalkan c adalah skalar.

1. Kesamaan Vektor: u = v jika dan hanya jika u1 = v1, u2 = v2, dan u3 = v3.
2. Bentuk Komponen: Jika v direpresentasikan dengan ruas garis berarah dari P(p1, p2, p3) ke Q(q1, q2, q3), maka
   
3. Panjang:
   
4. Vektor Satuan dalam Arah v:
   
5. Penjumlahan vektor: v + u = <v1 + u1, v2 + u2, v3 + u3>
6. Perkalian Skalar: cv = <cv1, cv2, cv3>

---

Perlu kita catat bahwa sifat-sifat operasi vektor pada bidang juga berlaku untuk vektor-vektor dalam ruang.

Menentukan Bentuk Komponen Suatu Vektor dalam Ruang.

contoh

Tentukan bentuk komponen dan besar vektor v, yang memiliki titik pangkal (–2, 3, 1) dan titik ujung (0, –4, 4). Kemudian tentukan vektor satuan dalam arah v.

Pembahasan Bentuk komponen dari v adalah

yang memiliki besar

Vektor satuan dalam arah v adalah

OPERASI – OPERASI PADA VEKTOR

PENDEKATAN SECARA GEOMETRI

OPERASI – OPERASI PADA VEKTOR

     

Untuk menentukan jumlah (sum), atau resultan, dari vektor – vektor u dan v, gerakkan v tanpa mengubah besaran atau arahnya sampai ekor v tersebut berimpit dengan kepala u. Maka u + v adalah suatu vektor yang menghubungkan ekor u ke kepala v. 

Cara lain untuk menentukan jumlah vektor u + v, yaitu dengan menggerakkan v sedemikian rupa sehingga ekornya berimpit dengan u. Maka u + v adalah suatu vektor dengan ekor yang sama dan berimpit dengan garis diagonal suatu jajaran genjang yang mempunyai u dan v sebagai sisi – sisinya.

Operasi dalam vektor tersebut dapat dijelaskan pada gambar dibawah ini :

Kedua metode ini merupakan cara yang ekuivalen untuk menentukan penjumlahan dari vektor, dan pada penjumlahan vektor berlaku pula sifat komukatif dan asosiatif. Yaitu :

u + v = v + u

(u + v) + w = u + (v + w)

Bila u adalah sebuah vektor, maka 3u adalah vektor yang memiliki arah yang sama dengan u tetapi memiliki panjang 3 kali dari vektor u; -3u berarti vektor tersebut memiliki arah berlawanan dengan 3u, tetapi memiliki panjang yang sama. Dan untuk vektor yang tidak mempunyai arah disebut vektor nol dan dinotasikan 0. vektor 0 merupakan unsur identitas penjumlahan, dalam hal ini

u + 0 = 0 + u = u 

dan untuk pengurangan vektor didefinisikan;

u – v = u + (-v)

PENDEKATAN SECARA ALJABAR

OPERASI PADA VEKTOR

Untuk sebarang vektor u, v, dan w, dan sembarang skalar a dan b, berlaku hubungan – hubungan berikut ;

            1. u + v = v + u                             5. a(bu) = (ab)u = u(ab)

            2. (u + v) + w = u +(v +            6. a(u + v) = au + av

            3. u + 0 = 0 + u =                       7. (a + b)u = au + bu

            4. u + (-u) = 0                                8. 1u = u

Bukti aturan 6.

Jika komponen vektor u = <u₁,u₂> dan komponen vektor v = <v₁,v₂> maka :

a(u + v) = a(<u₁,u₂> + <v₁,v₂>)

                            = a. <u₁ + v₁ , u₂ + v₂>

                            = <a(u₁ + v₁), a(u₂ + v₂)>

                            = <au₁ + av₁, au₂ + av₂>

                            = <au₁,au₂> + <av₁,av₂>

                            = a<u₁,u₂> + a<v₁,v₂>

                            = au + av

Penjelasan Operasi pada Vektor

Jika, komponen vektor u = <u₁,u₂> dan komponen vektor v = <v₁,v₂> maka :

Untuk menjumlahkan u dan v, kita menjumlahkan komponennya yang bersesuaian ;

            u + v                =          <u₁+v₁ , u₂+v₂>

            uk                    =          <u₁k , u₂k>   [k adalah sebuah skalar]

Gambar dibawah ini menunjukkan penjumlahan vektor dan perkalian skalar vektor tersebut