ELLIPS

ELLIPS 

Dalam matematika, sebuah elips adalah gambar yang menyerupai lingkaran yang telah dipanjangkan ke satu arah. Elips adalah salah satu contoh dari irisan kerucut dan dapat didefinisikan sebagai lokus dari semua titik, dalam satu bidang, yang memiliki jumlah jarak yang sama dari dua titik tetap yang telah ditentukan sebelumnya (disebut fokus).

Sebelum membahas mengenai persamaan elips, mari kita ingat-ingat kembali persamaan dari suatu lingkaran. Lingkaran yang memiliki titik pusat di titik (a, b) dan berjari-jari r memiliki persamaan (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Dengan membagi kedua ruas persamaan tersebut dengan r2, kita akan memperoleh :

Pada persamaan yang terakhir, nilai r pada masing-masing penyebut secara berturut-turut merupakan jarak vertikal dan horizontal dari titik pusat ke grafik. Lalu mungkin kita akan bertanya, bagaimana jika nilai dari penyebut-penyebut tersebut berbeda? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, perhatikan persamaan berikut.

Pusat dari grafik persamaan di atas tetaplah (3, –2), karena a = 3 dan b = –2. Dengan mensubtitusi y = –2, kita dapat menentukan titik-titik yang memenuhi persamaan tersebut.

Hasil di atas, menunjukkan bahwa jarak horizontal titik pusat terhadap grafik adalah 4 satuan, yaitu jarak titik pusat (3, –2) terhadap titik-titik (–1, –2) dan (7, –2). Dengan cara yang serupa, untuk x = 3 kita akan mendapatkan (y + 2)2 = 9, sehingga diperoleh y = –5 dan y = 1. Hal ini menunjukkan bahwa jarak vertikal titik pusat terhadap grafik adalah 3, yaitu jarak titik (3, –2) terhadap titik-titik (3, –5) dan (3, 1). Sehingga, dengan mengganti penyebut-penyebut yang tidak sama pada suatu persamaan lingkaran, kita akan mendapatkan suatu grafik memanjang dari lingkaran. Grafik seperti ini merupakan grafik dari suatu elips.

Untuk suatu elips, jarak terjauh antara dua titik pada elips disebut sumbu mayor, dengan titik-titik ujung sumbu mayor disebut titik-titik puncak elips. Ruas garis yang tegak lurus dan membagi sumbu mayor menjadi 2 bagian yang sama disebut sumbu minor.

• Jika p > q, sumbu mayornya horizontal (sejajar dengan sumbu-x) dengan panjang 2p, dan sumbu minornya vertikal dengan panjang 2q.
• Jika p < q, sumbu mayornya vertikal (sejajar dengan sumbu-y) dengan panjang 2q, dan sumbu minornya horizontal dengan panjang 2p.

Dari pengamatan kita di atas, kita dapat menarik kesimpulan mengenai persamaan elips sebagai berikut.

Bentuk Standar dari Persamaan Elips
Diberikan persamaan,

Jika p ≠ q persamaan tersebut merepresentasikan grafik dari suatu elips dengan titik pusat (a, b). Nilai |p| merupakan jarak horizontal titik pusat dengan grafik, sedangkan |q| merupakan jarak vertikal titik pusat dengan grafik.

untuk lebih jelas, setelah ini saya akan menunjukan cntoh soal. ditunggu okey :)

ELLIPS , HIPERBOLA DAN PARABOLA

IRISAN KERUVUT SEBAGAI KURVA BERDERAJAT DUA

Bentuk Umum Irisan Kerucut sebagai Kurva Berderajat Dua

           Jika diberikan sebuah kerucut kemudian kerucut tersebut dipotong dengan berbagai cara maka akan diperoleh sebuah bidang perpotongan. Gambar berikut menunjukkan berbagai bentuk irisan yang diperoleh dari hasil perpotongan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. Hasil irisan pada kerucut tersebut akan membentuk sebuah kurva yang secara umum disebut irisan kerucut (conic section). Bentuk-bentuk irisan keruct seperti yang ditunjukkan pada gambar (a) berupa sebuah lingkaran, gambar (b) adalah elips, gambar (c) membentuk parabola, dan gambar (d) menghasilkan hiperbola.

Gambar 1. Contoh kurva hasil dari irisan sebuah kerucut

Namun para ahli matematika telah menyepakati bahwa secara umum bentuk irisan kerucut adalah parabola, elips, dan hiperbola. Sedangkan lingkaran merupakan kasus khusus dari elips. Masing-masing kurva tersebut memiliki persamaan kurva berderajat dua yang unik.

Hasil irisan kerucut tersebut memperlihatkan bahwa kedudukan titik-titik akan bergerak dengan rasio jarak tertentu dari sebuah titik tetap dan garis tetap sehingga terbentuk irisan kerucut. Tiap irisan kerucut memiliki komponen-komponen yang menjadi karakteristik dari tiap bentuk kurva yaitu esentrisitas (eccentricity), garis direktriks (directrix), dan titik fokus. Misalkan sebuah titik P bergerak terhadap sebuah garis tetap l, dan sebuah titik tetap F. Jarak P ke F dinyatakan oleh d dan jarak P ke l dinyatakan oleh d¢. Perbandingan jarak d dan d¢ disebut esentristitas yaitu e = d : d¢. Garis l disebut garis direktriks dan titik F disebut titik fokus. Nilai esentrisitas akan menentukan jenis irisan kerucut dengan nilai e meliputi e < 1, e = 1, dan e > 1.

Sebuah kurva bidang (plane curve) merupakan himpunan titik-titik yang akan dapat dinyatakan dalam persamaan kurva. Sebuah persamaan kurva berderajat dua dinyatakan oleh persamaan berikut :

Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0

dengan nilai koefisien A, B, dan C ketiganya tidak bersamaan bernilai nol.

Semua persamaan berderajat dua seperti di atas, pada sistem koordinat persegi panjang akan merepresentasikan sebuah kurva yang dinamakan irisan kerucut (conic). Bentuk persamaan kurva berderajat dua juga dapat dinyatakan sebagai berikut :

ax² + by² + 2hxy + 2gx + 2fy + c = 0

dengan nilai koefisien a, b, dan h ketiganya tidak bersamaan bernilai nol.

Jika kurva berderajat dua melalui titik (0, 0) maka diperoleh persamaan kurva yaitu :

Ax² + By² + Dx + Ey + F = 0

dengan nilai koefisien A dan B keduanya tidak bersamaan bernilai nol

atau

ax² + by² + 2gx + 2fy + c = 0

dengan nilai koefisien a dan b keduanya tidak bersamaan bernilai nol.

nanti kita akan membahas lebih lanjut mengenai ellips , hiperbola dan prabola...

ditunggu ya.... :)

GARIS SEBAGAI KURVA BERDERAJAT SATU

Persamaan Normal Sebuah Garis 

 Sebuah garis yang memotong sumbu x dan sumbu y akan tegak lurus terhadap sebuah ruas garis yang melalui titik asal (0, 0). Perhatikan gambar 25.

Garis normal suatu garis yang memotong sumbu x dan sumbu y

 Gambar tersebut memperlihatkan sebuah garis l yang memotong sumbu x di A(a, 0) dan tegak lurus terhadap ruas garis 𝑅𝑂 di mana O(0, 0) dan R titik pada garis l. Besar sudut ⁡𝛃 menyatakan ukuran sudut inklinasi garis RO. Garis RO disebut garis normal dari garis 𝓵. Sedangkan nilai p menunjukkan panjang ruas garis 𝑅𝑂. Maka dapat dibuat sebuah segitiga siku-siku ARO di mana ∡ 𝐴𝑅𝑂 = 90°
Sehingga sudut inklinasi garis l yaitu 𝛼 = ∡𝑋𝐴𝑅 = 180° − ∡𝑅𝐴𝑂 = 90° + 𝛽 Kemiringan garis l ditentukan oleh m = tan 𝛂 = tan (90 + 𝛃) =  − 1/tan𝛽 = − cos𝛽/sin𝛽
Karena segitiga ARO adalah segitiga siku-siku dengan hipotenusa 𝑂𝐴 maka cos𝛽 = 𝑝 / |𝑂𝐴 sehingga
|𝑂𝐴| = 𝑝/cos𝛽 = √𝑎2 = 𝑎. Jadi koordinat titik A di ( 𝑝/cos𝛽,0).

Dengan demikian garis l memiliki gradien 𝑚 = −cos𝛽/sin𝛽 dan melalui titik A( 𝑝/cos𝛽 ,0) sehingga  substitusi ke dalam persamaan garis y - y0 = m(x - x0) menghasilkan persamaan normal :

𝑦 − 0 = −cos𝛽/sin𝛽(𝑥 − (𝑝/cos𝛽)) ⇒ 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝜷 + 𝒚 𝐬𝐢𝐧𝜷 − 𝒑 = 𝟎  

Jika persamaan garis dinyatakan sebagai persamaan kurva berderajat satu Ax + By + C = 0 maka

𝑚 = −𝐴/𝐵 = − cos𝛽/sin𝛽 ⇒ 𝐴 𝐵 =  cos𝛽/sin𝛽 ⇒ sin𝛽 = 𝐵/𝐴 (cos𝛽)

Dengan menggunakan identitas trigonometri cos2b + sin2b = 1 dilakukan manipulasi aljabar sebagai berikut.

 cos2b + sin2b = 1  ⟹ 𝑐𝑜s2𝛽 + B2 A2 / 𝑐𝑜s2𝛽 = 1 ⟹ 𝑐𝑜s2𝛽 ( (A2 +B2  /A2 ) = 1 ⟹𝐜𝐨𝐬𝜷 = 𝑨 ±√𝑨𝟐+𝑩𝟐 

Koordinat titik potong garis dan sumbu x yaitu 𝑥 = − 𝐶 𝐴 = 𝑝 cos𝛽  𝑝 = − 𝐶 𝐴
cos𝛽 dan diperoleh  𝑝 = 𝑪 ±√𝑨𝟐 +𝑩𝟐

Contoh 3  

Persamaan kurva berderajat satu x + 2y - 5 = 0 pada contoh 5 dapat diubah menjadi persamaan normal dengan langkah sebagai berikut.

1) Menentukan sudut normal 𝛽
        Gradien garis yaitu 𝑚 = − 1/2 maka sudut inklinasi 𝛂 = arc tan m = arc tan (− 1/2 ) ≈ 153,43  . Hubungan sudut inklinasi 𝛂 dan 𝛃 : 𝛼 = 90° + 𝛽. Telah diketahui sudut inklinasi 𝛂 ≈ 153,43 maka sudut 𝛃 ≈ 63,43

2) Menentukan jarak titik (0, 0) ke garis yaitu p
         Titik potong garis dan sumbu x ditentukan dengan mensubtitusikan y = 0 sehingga diperoleh titik potong (5, 0) maka 𝑝 cos 𝛽 = 5 ⟹ p = 5 cos 𝛽 = 5 cos 63,43 ≈ 5 - 0,447 ≈  2, 24

Maka persamaan normal garis x + 2y - 5 = 0 yaitu : x cos 63,43 + y sin 63,43 - 2,24 = 0

Persamaan normal tersebut dapat diubah kembali menjadi persamaan garis sebagai kurva berderajat atau pun persamaan garis bergradien sebagai berikut :

x cos 63,43 + y sin 63,43 - 2,24 = 0 ⟹ 0,45x + 0,89 y - 2, 24 = 0 ⟹ x + 2y – 5 = 0

GARIS SEBAGAI KURVA BERDERAJAT SATU

GARIS SEBAGAI KURVA BERDERAJAT SATU 

Persamaan Umum Garis, Gradien dan Sudut Inklinasi 

            Garis dibentuk oleh paling sedikit dua buah titik berbeda. Sebagai suatu himpunan, garis merupakan himpunan titik-titik yang tak hingga dan tak berbatas sehingga garis tidak memiliki dimensi panjang. Jika garis dibentuk oleh titik A dan B maka garis tersebut dapat dinamakan sebagai garis AB. Notasi lain untuk penamaan garis yaitu menggunakan huruf kecil misalnya g, h, l, m dan sebagainya. Sebuah garis juga disebut kurva berderajat satu yang dinyatakan sebagai :   

Ax + By + C = 0 untuk A, B, C bilangan riil dan x, y variabel bilangan riil 

Sebuah garis dapat ditentukan persamaan kurva berderajat satu seperti di atas apabila diketahui tiga buah titik yang dilalui oleh garis tersebut. 

Contoh 1

Sebuah garis yang melalui titik A(1, 2), B(-3, 4), dan C(5, 0) maka persamaan kurva berderajat  satu untuk garis tersebut ditentukan sebagai berikut. 

Langkah 1) Substitusi koordinat titik ke dalam persamaan kurva 

Garis melalui A(1, 2)  A(1) + B(2) + C = 0 ⇒ A + 2B + C = 0 ----------------------------pers. 1

Garis melalui B(-3, 4)  A(3) + B(-4) + C = 0⇒ -3A + 4B + C = 0 ------------------------pers. 2

Garis melalui C(5, 0)  A(5) + B(0) + C = 0 ⇒ 5A  + C = 0 --------------------------------pers. 3 

Langkah 2) Membuat sistem persamaan linier tiga variabel 

𝐴 + 2𝐵 + 𝐶 = 0

3𝐴 + 4𝐵 + 𝐶 = 0

5𝐴 + 𝐶 = 0

Langkah 3) Menyelesaikan sistem persamaan linier  

Penyelesaian sistem persamaan linier di atas yaitu : 

A = 1, B = 2 dan C = -5 

Maka persamaan kurva berderajat satu untuk garis yang melalui A(1, 2), B(-3, 4), dan C(5, 0) yaitu x + 2y - 5 = 0 . Sketsa garis tersebut pada sistem koordinat Cartesius seperti gambar di atas. 

Garis x + 2y - 5 = 0 seperti ditunjukkan pada gambar di atas membentuk sudut terhadap sumbu x positif. Besarnya sudut yang terbentuk tersebut akan mempengaruhi kemiringan garis. Sudut bernilai positif yang dibentuk antara garis dan sumbu x positif dinamakan sudut inklinasi garis (angle of inclination) dan biasanya dinotasikan  oleh  sudut  a.     Kemiringan  suatu  garis  dinamakan gradien (slope of the line) dan dinyatakan oleh notasi m.

Gambar 1. Sudut Inklinasi Garis

Gambar 2. Gradien Suatu Garis

Nilai gradien suatu garis dapat bernilai positif, negatif, nol atau tidak terdefinisi. Gradien suatu garis dapat ditentukan dengan menggunakan konsep trigonometri pada segitiga siku-siku namun dengan memperhatikan interval nilai sudut yang dibentuk oleh garis terhadap sumbu x positif. Perhatikan gambar sebuah garis berikut. Garis tersebut melalui dua titik yaitu P1(x1, y1) dan P2(x2, y2). Sudut yang dibentuk garis P1P2 adalah a. Pada gambar terlihat sebuah segitiga siku- siku dengan hipotenusa P1P2, panjang sisi alas x2  - x1  dan panjang sisi tegak  y2   -  y1.  Nilai  tangent  sudut  a dapat ditentukan sebagai perbandingan antara panjang sisi tegak terhadap panjang sisi alas segitiga siku-siku. Sehingga dapat dirumuskan :

𝒎 =  𝐭𝐚𝐧 𝜶 = y₂ – y_{1 /}    x₂ – x₁ ⇒  𝜶 = 𝒂𝒓𝒄 𝐭𝐚𝐧 𝒎 

Jadi nilai gradien suatu garis merupakan nilai tangen sudut inklinasi dan besarnya sudut inklanasi adalah nilai arc tan dari gradien garis.

Bentuk persamaan kurva berderajat satu dapat diubah menjadi fungsi dari x di mana x

adalah variabel bebas dan y adalah variabel terikat sebagai berikut :

𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎 ⇒ 𝑩𝒚 =  −𝑨𝒙 − 𝑪 ⟹ 𝒚 =  -𝑨/𝑩𝒙 − 𝑪/𝑩 ⟹ 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒄

Konstanta m disebut sebagai gradien yang menunjukkan kemiringan garis dan c merupakan konstanta persamaaan. Persamaan y = mx + c disebut persamaan garis bergradien m.

Sifat-sifat Garis dalam Bidang : Kesejajaran dan Perpotongan 

Sifat-sifat garis yang berada dalam sebuah bidang dalam geometri Euclide meliputi garisgaris yang berpotongan atau tidak berpotongan. Dua buah garis dikatakan berpotongan jika ada sebuah titik potong yang dilalui kedua garis. Dua garis tidak berpotongan disebut saling sejajar. Perhatikan bentuk garis-garis pada gambar berikut.

Gambar 4. Garis-garis yang memotong sumbu koordinat Cartesius

Gambar di atas memperlihatkan bahwa garis-garis bergradien positif atau negatif memotong sumbu x dan sumbu y masing-masing di satu titik. Perpotongan garis tersebut dengan sumbu x ditentukan dengan mensubstitusikan nilai y = 0 ke dalam persamaan garis. Perpotongan garis tersebut dengan sumbu y ditentukan dengan cara mensubstitusikan nilai x = 0 ke dalam persamaan garis.  Sedangkan garis sejajar sumbu x hanya memotong sumbu y dan tidak memotong sumbu x. Garis sejajar sumbu y hanya memotong sumbu x dan tidak memotong sumbu y.Tabel berikut meringkas hubungan persamaan garis dan titik-titik potong garis terhadap sumbu x dan sumbu y.