GARIS SEBAGAI KURVA BERDERAJAT SATU

Persamaan Normal Sebuah Garis 

 Sebuah garis yang memotong sumbu x dan sumbu y akan tegak lurus terhadap sebuah ruas garis yang melalui titik asal (0, 0). Perhatikan gambar 25.

Garis normal suatu garis yang memotong sumbu x dan sumbu y

 Gambar tersebut memperlihatkan sebuah garis l yang memotong sumbu x di A(a, 0) dan tegak lurus terhadap ruas garis 𝑅𝑂 di mana O(0, 0) dan R titik pada garis l. Besar sudut ⁡𝛃 menyatakan ukuran sudut inklinasi garis RO. Garis RO disebut garis normal dari garis 𝓵. Sedangkan nilai p menunjukkan panjang ruas garis 𝑅𝑂. Maka dapat dibuat sebuah segitiga siku-siku ARO di mana ∡ 𝐴𝑅𝑂 = 90°
Sehingga sudut inklinasi garis l yaitu 𝛼 = ∡𝑋𝐴𝑅 = 180° − ∡𝑅𝐴𝑂 = 90° + 𝛽 Kemiringan garis l ditentukan oleh m = tan 𝛂 = tan (90 + 𝛃) =  − 1/tan𝛽 = − cos𝛽/sin𝛽
Karena segitiga ARO adalah segitiga siku-siku dengan hipotenusa 𝑂𝐴 maka cos𝛽 = 𝑝 / |𝑂𝐴 sehingga
|𝑂𝐴| = 𝑝/cos𝛽 = √𝑎2 = 𝑎. Jadi koordinat titik A di ( 𝑝/cos𝛽,0).

Dengan demikian garis l memiliki gradien 𝑚 = −cos𝛽/sin𝛽 dan melalui titik A( 𝑝/cos𝛽 ,0) sehingga  substitusi ke dalam persamaan garis y - y0 = m(x - x0) menghasilkan persamaan normal :

𝑦 − 0 = −cos𝛽/sin𝛽(𝑥 − (𝑝/cos𝛽)) ⇒ 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝜷 + 𝒚 𝐬𝐢𝐧𝜷 − 𝒑 = 𝟎  

Jika persamaan garis dinyatakan sebagai persamaan kurva berderajat satu Ax + By + C = 0 maka

𝑚 = −𝐴/𝐵 = − cos𝛽/sin𝛽 ⇒ 𝐴 𝐵 =  cos𝛽/sin𝛽 ⇒ sin𝛽 = 𝐵/𝐴 (cos𝛽)

Dengan menggunakan identitas trigonometri cos2b + sin2b = 1 dilakukan manipulasi aljabar sebagai berikut.

 cos2b + sin2b = 1  ⟹ 𝑐𝑜s2𝛽 + B2 A2 / 𝑐𝑜s2𝛽 = 1 ⟹ 𝑐𝑜s2𝛽 ( (A2 +B2  /A2 ) = 1 ⟹𝐜𝐨𝐬𝜷 = 𝑨 ±√𝑨𝟐+𝑩𝟐 

Koordinat titik potong garis dan sumbu x yaitu 𝑥 = − 𝐶 𝐴 = 𝑝 cos𝛽  𝑝 = − 𝐶 𝐴
cos𝛽 dan diperoleh  𝑝 = 𝑪 ±√𝑨𝟐 +𝑩𝟐

Contoh 3  

Persamaan kurva berderajat satu x + 2y - 5 = 0 pada contoh 5 dapat diubah menjadi persamaan normal dengan langkah sebagai berikut.

1) Menentukan sudut normal 𝛽
        Gradien garis yaitu 𝑚 = − 1/2 maka sudut inklinasi 𝛂 = arc tan m = arc tan (− 1/2 ) ≈ 153,43  . Hubungan sudut inklinasi 𝛂 dan 𝛃 : 𝛼 = 90° + 𝛽. Telah diketahui sudut inklinasi 𝛂 ≈ 153,43 maka sudut 𝛃 ≈ 63,43

2) Menentukan jarak titik (0, 0) ke garis yaitu p
         Titik potong garis dan sumbu x ditentukan dengan mensubtitusikan y = 0 sehingga diperoleh titik potong (5, 0) maka 𝑝 cos 𝛽 = 5 ⟹ p = 5 cos 𝛽 = 5 cos 63,43 ≈ 5 - 0,447 ≈  2, 24

Maka persamaan normal garis x + 2y - 5 = 0 yaitu : x cos 63,43 + y sin 63,43 - 2,24 = 0

Persamaan normal tersebut dapat diubah kembali menjadi persamaan garis sebagai kurva berderajat atau pun persamaan garis bergradien sebagai berikut :

x cos 63,43 + y sin 63,43 - 2,24 = 0 ⟹ 0,45x + 0,89 y - 2, 24 = 0 ⟹ x + 2y – 5 = 0