OPERASI – OPERASI PADA VEKTOR

PENDEKATAN SECARA GEOMETRI

OPERASI – OPERASI PADA VEKTOR

     

Untuk menentukan jumlah (sum), atau resultan, dari vektor – vektor u dan v, gerakkan v tanpa mengubah besaran atau arahnya sampai ekor v tersebut berimpit dengan kepala u. Maka u + v adalah suatu vektor yang menghubungkan ekor u ke kepala v. 

Cara lain untuk menentukan jumlah vektor u + v, yaitu dengan menggerakkan v sedemikian rupa sehingga ekornya berimpit dengan u. Maka u + v adalah suatu vektor dengan ekor yang sama dan berimpit dengan garis diagonal suatu jajaran genjang yang mempunyai u dan v sebagai sisi – sisinya.

Operasi dalam vektor tersebut dapat dijelaskan pada gambar dibawah ini :

Kedua metode ini merupakan cara yang ekuivalen untuk menentukan penjumlahan dari vektor, dan pada penjumlahan vektor berlaku pula sifat komukatif dan asosiatif. Yaitu :

u + v = v + u

(u + v) + w = u + (v + w)

Bila u adalah sebuah vektor, maka 3u adalah vektor yang memiliki arah yang sama dengan u tetapi memiliki panjang 3 kali dari vektor u; -3u berarti vektor tersebut memiliki arah berlawanan dengan 3u, tetapi memiliki panjang yang sama. Dan untuk vektor yang tidak mempunyai arah disebut vektor nol dan dinotasikan 0. vektor 0 merupakan unsur identitas penjumlahan, dalam hal ini

u + 0 = 0 + u = u 

dan untuk pengurangan vektor didefinisikan;

u – v = u + (-v)

PENDEKATAN SECARA ALJABAR

OPERASI PADA VEKTOR

Untuk sebarang vektor u, v, dan w, dan sembarang skalar a dan b, berlaku hubungan – hubungan berikut ;

            1. u + v = v + u                             5. a(bu) = (ab)u = u(ab)

            2. (u + v) + w = u +(v +            6. a(u + v) = au + av

            3. u + 0 = 0 + u =                       7. (a + b)u = au + bu

            4. u + (-u) = 0                                8. 1u = u

Bukti aturan 6.

Jika komponen vektor u = <u₁,u₂> dan komponen vektor v = <v₁,v₂> maka :

a(u + v) = a(<u₁,u₂> + <v₁,v₂>)

                            = a. <u₁ + v₁ , u₂ + v₂>

                            = <a(u₁ + v₁), a(u₂ + v₂)>

                            = <au₁ + av₁, au₂ + av₂>

                            = <au₁,au₂> + <av₁,av₂>

                            = a<u₁,u₂> + a<v₁,v₂>

                            = au + av

Penjelasan Operasi pada Vektor

Jika, komponen vektor u = <u₁,u₂> dan komponen vektor v = <v₁,v₂> maka :

Untuk menjumlahkan u dan v, kita menjumlahkan komponennya yang bersesuaian ;

            u + v                =          <u₁+v₁ , u₂+v₂>

            uk                    =          <u₁k , u₂k>   [k adalah sebuah skalar]

Gambar dibawah ini menunjukkan penjumlahan vektor dan perkalian skalar vektor tersebut