Sejarah Geometri Analitik

setelah di post sebelumnya saya telah memperkenalkan sistem koordinat kartesius yang digunakan dalam konsep Geometeri, nah alangkah baiknya jika kita lebih mengenal Apa sih Geomitri analitik itu sendiri?. 

Geometri analitik merupakan kajian terhadap obyek-obyek geometri dengan menggunakan sistem koordinat yang diulas menggunakan konsep dan prinsip aljabar dan analisis. Perkembangan geometri analitik dimulai dengan kehadiran bentuk baru persamaan (equation) Bentuk baru persamaan tersebut memungkinkan untuk mengklasifikasikan kurva berdasarkan derajat (degree). Kurva berderajat satu adalah garis lurus (straight lines), kurva berderajat dua merupakan irisan kerucut (conic sections), dan kurva berderajat tiga dinamakan kurva kubik (cubic curves).

Descartes (sekitar tahun 1637) menggunakan bentuk baru persamaan tersebut untuk mengubah masalah-masalah geometri menjadi masalah aljabar menggunakan koordinat sehingga dapat diselesaikan dengan manipulasi aljabar. Pengubahan tersebut dilakukan berdasarkan relasi antara himpunan titik-titik yang berkorespondensi satu-satu dengan himpunan bilangan riil. Sebuah titik dapat dinyatakan sebagai pasangan bilangan riil (x,y). Descartes dalam bukunya Geometry (La Geometrie) menggunakan pertama kali bentuk sumbu koordinat untuk menganalisis sebuah kurva secara aljabar, seperti terlihat dalam gambar berikut.

Gambar 1. Diagram pertama yang digunakan Descartes untuk menganalisis kurva secara aljabar

(Sumber : Smith & Latham, 1957 : 50)

Dalam bukunya, Descartes (Smith & Latham, 1957) menuliskan “I choose a straight line, as AB, to attach to refer all its points…and in AB I choose a point A at which to begin the investigation… Then I draw through C the line CB parallel to GA. Since CB and BA are unknown and indeterminate quantities, I shall call one of them y and the other x.” Pernyataan Descartes tersebut mendeksripsikan mengenai sumbu koordinat x dan y. Selanjutnya Descartes menggunakan persamaan aljabar yaitu  untuk mengidentifikasi kurva tersebut. Terlihat pada gambar 1, kurva EC yang dinyatakan oleh persamaan tersebut memiliki bentuk hiperbola. Diagram tersebut menjadi awal penggunaan sistem koordinat Cartesius. Penamaan sistem koordinat ini dilakukan untuk menghormati karya pemikiran Rene Descartes.

Ide awal geometri analitik adalah penyajian kurva sebagai persamaan, yang selanjutnya dikembangkan untuk memperluas berbagai teknik manipulasi aljabar sehingga dari persamaan tersebut diperoleh informasi mengenai kurva. Descartes telah menunjukkan bahwa setelah suatu masalah geometri diubah menjadi masalah aljabar maka persamaan tersebut diselesaikan untuk memperoleh penyelesaian masalah geometri. Perkembangan tersebut memungkinkan penyelesaian berbagai masalah kompleks dan menghasilkan bidang kajian baru dalam matematika yaitu kalkulus dan trigonometri, yang selanjutnya menjadi dasar perkembangan sains dan teknologi modern.

Geometri analitik diaplikasikan dalam berbagai ilmu pengetahuan sains dan teknologi. Sejak tahun 1985, geometri analitik digunakan oleh para ilmuwan untuk menyelesaikan masalah kriptografi yaitu untuk menuliskan pesan dalam kode rahasia. Ilmuwan biologi menggunakan geometri analitik dalam bidang spektroskopi. Di bidang geografi, geometri digunakan untuk membuat peta, pengidentifikasian latitude dan longitude, serta pengembangan global positioning system (GPS). Para ahli di bidang teknik sipil menggunakan geometri analitik untuk menggambarkan bangunan atau jembatan serta melakukan perhitungan berkaitan dengan bobot yang dapat ditanggung bangunan atau jembatan tersebut.

Gambar 2. Contoh aplikasi geometri analitik dalam kehidupan nyata

Di bidang pemrograman komputer, juga menggunakan geometri analitik untuk mengembangkan perangkat mouse, permainan video, animasi dan pengolahan citra digital seperti diperlihatkan dalam gambar berikut ini.

Gambar 3. Contoh aplikasi geometri analitik dalam bidang grafika komputer

Gambar di atas memperlihatkan proses manipulasi bentuk geometri pada pembuatan film animasi Monster,Inc yang dilakukan dengan bantuan perangkat lunak.

gimana ?? udah mengenal Geometri analitik kan ? :D hehe... di post setelah ini kita akan mengulik lebih dalam lagi apa saja yang di pelajari dalam geoetri analitik. soo tungguin yaaaa :)

Sistem Koordinat Kartesius Tegak Lurus

Sistem Koordinat Kartesius Tegak Lurus

Sejarah Koordinat Kartesius

Kalau ngomong soal Sistem Kooerdinat Kartesius pasti yang ada dalam fikiran kalian adalah sumbu-x dan sumbu-y. kalian pernah terfikir gak tentang siapa yang menemukan sistem koordinat ini ? Nah, kan katanya "tak kenal maka tak sayang" , so,. yuk kenalan sama penemu Sistem Koordinat Kartesius.

Penemu dari Sistem Koordinat Kartesius adalah Rene Descartes. Rene Descartes lahir di La Haye,prancis. Pada tgl 31 maret 1596. Ibunya, Jeanne Brichard. Descartes muda tidak banyak mempunyai teman. Ia jg seorang yg pendian dan kutu buku. Setelah lulus dari studi bidang hukum, ia mengajukan beasiswa untuk mempelajari matematika.ia jg menjadi prajurit dan berperang.

Suatu ketika,saat descartes jalan-jalan di Breda, ia melihat kerumunan orang dan di tengah kerumunan berdiri orang tua yang menantang siapa pun yang dapat memecahkan problem matematika. Memecahkan problem itu mudah baginya namun mengalami hambatan bahasa membuat Descartes berteriak-teriak mencari orang yang dapat menterjemahkan bahasanya yaitu bahasa Perancis ke dalam bahasa Belanda. Kemudian Muncul seorang lelaki setengah baya dengan senang hati menawarkan jasanya. Penterjemah itu tidak lain adalah Isaac Beeckman, matematikawan terkemuka Belanda saat itu, menyatakan bahwa problem matematika tersebut terlalu mudah karena langsung dapat dipecahkan. Beeckman heran, seorang prajurit dapat memecahkan problem matematika pastilah bukan prajurit biasa. Mereka saling berkenalan dan sejak saat itu Isaac Beeckman menjadi teman sekaligus pembimbing Descartes.

Atas anjuran Beeckman pula lah, Descartes mau menekuni matematika kembali. Untuk memancing minat akan matematika, Descartes diberi tugas memecahkan problem. Empat bulan setelah insiden pertemuan itu, Descartes melaporkan kepada Beeckman tentang penemuannya, cara baru mempelajari geometri. Menurutnya tidak ada sistem yang mampu memecahkan cara pembuktian orang Yunani kecuali diperoleh kelelahan luar biasa karena mencoba mencitrakannya.

            Untuk menangani garis-garis dan bentuk-bentuk ruang diperlukan sebuah grafik untuk menggambarkannya. Grafik dibuat dengan menyilangkan garis horizontal – diberi nama sumbu x, dengan garis vertikal – diberi nama sumbu y, dimana persilangan itu terjadi pada titik nol [0]. Pada sumbu x sisi kanan adalah positif sedang sisi kiri negatif. Begitu pula, bagi sumbu y di sisi atas adalah positif dan sedang di sisi bawah negatif. Bentuk-bentuk atau garis-garis dapat digambar pada grafik sessuai dengan posisinya yang ditandai dengan angka-angka. Setelah lama “bermain” dengan garis-garis akhirnya Descartes menemukan bahwa semua garis lurus mempunyai persamaan umum: ax + by + c = 0, dimana a, b dan c adalah konstanta.

Sistem koordinat dua dimensi

Sistem koordinat Kartesius dalam dua dimensi umumnya didefinisikan dengan dua sumbu yang saling bertegak lurus antar satu dengan yang lain, yang keduanya terletak pada satu bidang (bidang xy). Sumbu horizontal diberi label x, dan sumbu vertikal diberi label y. Pada sistem koordinat tiga dimensi, ditambahkan sumbu yang lain yang sering diberi label z. Sumbu-sumbu tersebut ortogonal antar satu dengan yang lain. (Satu sumbu dengan sumbu lain bertegak lurus.)

Titik pertemuan antara kedua sumbu, titik asal, umumnya diberi label 0. Setiap sumbu juga mempunyai besaran panjang unit, dan setiap panjang tersebut diberi tanda dan ini membentuk semacam grid. Untuk mendeskripsikan suatu titik tertentu dalam sistem koordinat dua dimensi, nilai x ditulis (absis), lalu diikuti dengan nilai y (ordinat). Dengan demikian, format yang dipakai selalu (x,y) dan urutannya tidak dibalik-balik.

Gambar 3 - Keempat kuadran sistem koordinat Kartesius. Panah yang ada pada sumbu berarti panjang sumbunya tak terhingga pada arah panah tersebut.

Pilihan huruf-huruf didasari oleh konvensi, yaitu huruf-huruf yang dekat akhir (seperti x dan y) digunakan untuk menandakan variabel dengan nilai yang tak diketahui, sedangkan huruf-huruf yang lebih dekat awal digunakan untuk menandakan nilai yang diketahui.

Sebagai contoh, pada Gambar 3, titik P berada pada koordinat (3,5).

Karena kedua sumbu bertegak lurus satu sama lain, bidang xy terbagi menjadi empat bagian yang disebut kuadran, yang pada Gambar 3 ditandai dengan angka I, II, III, dan IV. Menurut konvensi yang berlaku, keempat kuadran diurutkan mulai dari yang kanan atas (kuadran I), melingkar melawan arah jarum jam (lihat Gambar 3). Pada kuadran I, kedua koordinat (x dan y) bernilai positif. Pada kuadran II, koordinat x bernilai negatif dan koordinat y bernilai positif. Pada kuadran III, kedua koordinat bernilai negatif, dan pada kuadran IV, koordinat x bernilai positif dan y negatif (lihat tabel dibawah ini).

Kuadran	nilai x	nilai y
I	> 0	> 0
II	< 0	> 0
III	< 0	< 0
IV	> 0	< 0